解析:全称命题的否定是特称命题,即"对任意x∈M,p(x)成立"的否定是"存在x∈M,使p(x)不成立".

答案:(1)存在x∈R,使x2+x+1≤0

　　(2)存在x∈Q,使1/3x2+1/2x+1不是有理数

7.写出下列特称命题的否定.

(1)存在α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β:　;

(2)存在x,y∈Z,使3x-2y=10:　.

解析:特称命题的否定是全称命题,即"存在x∈M,使p(x)成立"的否定是"对任意x∈M,p(x)不成立".

答案:(1)对任意α,β∈R,有sin(α+β)≠sin α+sin β

　　(2)对任意x,y∈Z,有3x-2y≠10

8.已知a>0,命题p:存在x∈R,使|x-4|+|x-3|

解析:p的否定:对任意x∈R,|x-4|+|x-3|≥a.

　　因为对任意x∈R,|x-4|+|x-3|的最小值为1,

　　所以p的否定成立时,0

　　又因为p是真命题,

　　所以p的否定是假命题.

　　所以a>1,即a的取值范围是(1,+∞).

答案:(1,+∞)

9.写出下列命题的否定形式,并判断其真假.

(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;

(2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;

(3)已知函数f(x)=cos x,则对任意x∈R,都有f(x)≤1;

(4)对任意x∈R,x2+2>0.

解(1)这一命题可以表述为"对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根".其否定为"存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根".因为当Δ=1+4m<0,即m<-1/4时,一元二次方程没有实数根,所以,命题的否定是真命题.

　　(2)这一命题的否定为"对任意实数x,都有x2+x+1>0".因为x2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0,所以它为真命题.

　　(3)这一命题的否定为"已知函数f(x)=cos x,则存在x∈R,有f(x)>1".因为f(x)∈[-1,1],所以命题的否定为假命题.

　　(4)这一命题的否定为"存在x∈R,x2+2≤0".因为x2+2≥2,所以不存在x∈R,使x2+2≤0.

　　即其否定为假命题.

10.导学号90074009若r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.

解因为sin x+cos x=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2],所以如果对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对任意的x∈R,不等式sin x+cos x>m不恒成立,所以m≥-√2.

　　又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任意的x∈R,不等式x2+mx+1>0恒成立,所以方程x2+mx+1=0的判别式Δ=m2-4<0,即-2

　　综上可知,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则-√2≤m<2.故m的取值范围为[-√2,2).