二、填空题

7．函数y=(1+1/sinα)(1+1/cosα)(0<α<π/2)的最小值是_______

【答案】3+2√2

【解析】

【分析】

由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由柯西不等式得：

y=[1^2+(1/√sinα)^2 ][1^2+(1/√cosα)^2 ]

≥(1×1+1/√sinα "·" 1/√cosα)^2

=(1+√2/√sin2α)^2≥(1+√2)^2 =3+2√2.

当且仅当sin2α=1,即α=π/4 时等号成立.

即y=(1+1/sinα)(1+1/cosα)(0<α<π/2)的最小值是3+2√2.

【点睛】

本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．已知x,y∈R，若x+2y=4，则x^2+4y^2的最小值为__________；若x^2+4y^2=4，则x+y的最大值为__________．

【答案】8 √5

【解析】

【分析】

根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2√2xy，变形可得2xy≤4，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.

【详解】

根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2√2xy，变形可得2xy≤4，（当且仅当x＝2y=2时等号成立）

x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，

又由4xy≤8，则有x2+4y2≥8，