题目:设a1,a2,...,a7是由数字1,2,...,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)...(a7-7)为偶数.

证明:假设p为奇数,则________均为奇数.

因奇数个奇数之和为奇数,故有

奇数=__________________

=__________________

=0.

但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.

【解析】由假设p为奇数可知a1-1,a2-2,...,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)=(a1+a2+...+a7)-(1+2+...+7)=0为奇数,这与0为偶数矛盾.

答案:a1-1, a2-2,...,a7-7

(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)

(a1+a2+...+a7)-(1+2+...+7)

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.(2018·深圳高二检测)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.

求证:f(x)=0无整数根.

【证明】假设f(x)=0有整数根n,

则an2+bn+c=0,

由f(0)为奇数,即c为奇数,

f(1)为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,

又an2+bn=-c为奇数,

所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,

所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,

所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.

所以f(x)=0无整数根.

【拓展延伸】适用反证法证明的题型

适用反证法证明的题型有:

(1)一些基本命题、基本定理.

(2)易导出与已知矛盾的命题.