因为f'(x)=b·(x'·(x^2-1)-x(x^2-1)')/((x^2-1)^2 )

=-(b(x^2+1))/((x^2-1)^2 ),

当00,(x2-1)2>0,

所以-(x^2+1)/((x^2-1)^2 )<0.

所以当b>0时,f'(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上是减函数;

当b<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上是增函数;

又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:

当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;

当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.

6.(2018·威海高三模拟)若函数f(x)=1/3x3-1/2ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.

【解析】f'(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因为27,所以当a≤7时,

f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.

综上知5≤a≤7.

【一题多解】本题还可以用以下方法解决:

如图所示,f'(x)=(x-1).

因为在(1,4)内f'(x)≤0,在(6,+∞)内f'(x)≥0,且f'(x)=0有一根为1,

所以另一根在上.所以{■(f'(4)≤0,@f'(6)≥0,)┤

即{■(3(5-a)≤0,@5(7-a)≥0,)┤所以5≤a≤7.