8.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定实数a的取值范围,并求出这三个单调区间.

解：f′(x)=3ax2+1,若a>0,则f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间,与原条件矛盾,若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.

若a<0,f′(x)=3a·(x+)(x).

综上,可知a<0时,f(x)恰有三个单调区间,其中减区间为(-∞,)和(,+∞),增区间为(,).

9.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1,求f(x)的单调区间.

解：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,

令f′(x)=0,

解得x1=0,x2=a-1.

当a=1时,f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

当a>1时,f′(x)=6x［x-(a-1)］.

f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

x (-∞,0) (0,a-1) (a-1,+∞) f′(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ 从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.

10.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.

(1)求b、c的值;

(2)求g(x)的单调区间.

解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,

∴f′(x)=3x2+2bx+c.

从而g(x)=f(x)-f′(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,

∴g(0)=0,得c=0.由奇函数定义得b=3.

(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g′(x)=3x2-6,由此可知

(-∞,-)和(,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;

(-,)是函数g(x)的单调递减区间.

11.若函数f(x)=x3ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.

解：函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.

令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.

当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.

当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.