2019-2020学年北师大版选修1-1 利用导数探究函数零点问题 课时作业

　　1．已知函数f(x)＝x2－2x＋1，g(x)＝xf(x)＋bx2＋a，若g′(x)＝0在区间上有解，则实数b的取值范围为(　　)

　　A．(－1，2)　　　　　　 B．(1，2)

　　C．[1，2) D．(0，2－]

　　解析：选D.易知g(x)＝x3＋(b－2)x2＋x＋a，则g′(x)＝3x2＋2(b－2)x＋1，因为g′(x)＝0在区间上有解，所以Δ＝4(b－2)2－12≥0，即b≥2＋或b≤2－，同时2(b－2)＝－∈(－4，－2]，所以0＜b≤2－，从而实数b的取值范围为(0，2－]．

　　2．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)

　　A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)

　　C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

　　解析：选B.f′(x)＝3ax2－6x，

　　当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，

　　则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈时，

　　f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：

　　不符合题意，排除A，C.

　　当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，

则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，