2．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．

证明　(1)当n＝1时，n2－n＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．

则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k＋1个圆把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2部分，

即n＝k＋1时命题也成立．综上所述，对一切n∈N*，命题都成立．

3．证明凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．

证明　(1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立．

(2)假设n＝k(k≥4且k∈N*)时命题成立．即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)，当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.

∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1

＝(k2－k－2)

＝(k＋1)(k－2)

＝(k＋1)[(k＋1)－3]，

故当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)知，对任意n≥4，n∈N*，命题成立．

4．已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)已知数列{xn}的项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))...(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；

(3)猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．

解　(1)把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，

代入函数表达式得

即