∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2.

∵以弦AB为直径的圆过原点，∴∠AOB＝90°，即OA⊥OB.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0.

∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.

m2＋4m－4－m(m＋1)＋m2＝0.m2＋3m－4＝0.

∴m＝1或m＝－4.

容易验证：m＝1或m＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线，有两条，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.

[高考水平训练]

1．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．

解析：设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝.由弦长为2可知()2＝(x0－1)2－2，

整理得(x0－1)2＝4.

∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．

因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.

答案：x＋y－3＝0

2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d＜1.

∵d＝＝，

∴0≤|c|＜13，即c∈(－13,13)．

答案：(－13,13)

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．

故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，

解得t＝1.

则圆C的半径为＝3.

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组

消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.

从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①