高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明自主练习 苏教版选修2-2

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1.设a、b是异面直线，在a上任取两点A1、A2，在b上任取两点B1、B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线.

思路解析：证明异面直线常用反证法.

证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线,

则A1B1与A2B2确定一个平面α.

∴A1、B1、A2、B2∈α.

∴A1A2α,B1B2α,

即aα,bα.

∴a、b共面于α,与a、b是异面直线矛盾.

∴假设不成立.∴A1B1与A2B2也是一异面直线.

2.设a、b、c都是正数，则三个数( )

A.都大于2 B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2

思路解析：≥2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时取"=".

答案:C

3.求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.

思路分析："至少"问题可用反证法，根据三角形的内角之和为180°解答.

证明：假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°,即∠A＜60°，∠B＜60°,∠C＜60°,相加得∠A+∠B+∠C＜180°.

这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假定不能成立.

∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.

4.如图2-2-3所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.

图2-2-3

思路分析：点M不在线段CD上不易证出，可假设M在线段CD上，用反证法证明.

证明：假设M在线段CD上，则BD＜BM=CM＜CD，

且AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2.

∴AB2=BD2+AD2＜BM2+AD2＜CD2+AD2=AC2，

即AB2＜AC2,AB＜AC.

这与AB＞AC矛盾，

∴点M不在线段CD上.