解析：y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).

令y′=0,得x1=-1,x2=1.

当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;

当-10,函数y=1+3x-x3是增函数;

当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.

∴当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;

当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.

3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( )

A.2 B.3 C.4 D.5

答案：D 解法一:(直接法)f′(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,所以a=5.

解法二:(验证法)当a=2时,f′(x)=3x2+4x+3=0,无解,排除A;

当a=3时,f′(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件,排除B;

当a=4时,f′(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件,排除C,故选D.

4.函数y=ax-eax(a<0)当x=__________时,有__________值为__________.

解析:y′=a-a·eax,令y′=0,得x=0.

而当x<0时,ax>0,∴eax >1.

∴a·eax 0.

同理,x>0时,a-a·eax <0.

∴当x=0时,

y极大值=-1.

答案:0 大 -1

5.关于函数f(x)=x3-3x2有下列命题,其中正确命题的序号是__________.

①f(x)是增函数 ②f(x)是减函数，无极值 ③f(x)的增区间是（-∞,0)和（2,+∞)，减区间为（0，2） ④f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值

解析:f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,则x=0或x=2.利用极值的求法可求得x=0是极大值点,x=2是极小值点.

答案:③④

6.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1,

(1)试求常数a、b、c的值;

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

解:(1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.

∴a=,b=0,c=.

(2)f(x)=x3x,

∴f′(x)=x2=(x-1)(x+1);

当x<-1或x>1时,f′(x)>0;

当-1

∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数.

∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.

30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）

1.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于（1，0）点，则f(x)的（ ）