[基础达标]
1.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.
解析:由圆锥曲线的共同性质得=e==2,d为点M到右准线x=1的距离,则d=2,所以MF=4.
答案:4
2.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,则椭圆C的离心率为________.
解析:依题意,d2=-c=.又BF==a,所以d1=.由已知可得=·,所以c2=ab,即6c4=a2(a2-c2),整理可得a2=3c2,所以离心率e==.
答案:
3.已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则点P到它的左焦点的距离为________.
解析:设F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,P到左准线的距离为d1,P到右准线的距离为d2=10,由圆锥曲线的统一定义知,==,解得PF2=6,又PF1+PF2=2a=10,解得PF1=4,故P到它的左焦点距离为4.
答案:4
4.如果双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是________.
解析:由双曲线方程可知a=2,b=,c=,e=,设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,设P点坐标为(x,y),由已知条件知P点在右支上,且PF2=ex-a=2,解得x=.
答案:
5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则此双曲线方程为________.
解析:由题意得=,=1,得a=,c=3,则b2=6,所以此双曲线方程为-=1.
答案:-=1
6.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点,P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点,且F1F2=F2P,则椭圆的离心率是________.
解析:如图有P(,c),设右准线交x轴于H点,