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基础·巩固

1.求证：a2+3b2≥2b(a+b).

思路分析：根据不等式两边均为多项式，作差比较后可以化为完全平方式的形式，容易判定符号，用比较法较好.

证明：∵a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,

∴a2+3b2≥2b(a+b).

2.证明:.

思路分析：本题左右两边均含有根式，直接比较不好证明，可以用分析法证明，当然也可以用综合法证之.

证明：∵，

又∵()2-()2=-5=<0,

∴.

3.求证：-1≤<1.

思路分析：由于≥0，所以采用分析法证明,逐步寻求待证不等式的充分条件即可，用分析法证明较好.

证明：要证-1≤，只需证≥0，即≥0，上式显然成立，所以≥-1.类似地，可以证明<1.

4.已知a,b,c>0,求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.

思路分析：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a2+b2+c2≥ab+bc+ca时，可将a2+b2+c2-(ab+bc+ca)配方为［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］，亦可利用a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.

证明：∵ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc

=a(b2+c2-2bc)+b(a2+c2-2ac)+c(a2+b2-2ab)

=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2≥0,

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.