解析：这条曲线在面ADD1A1上的一段是以A为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为3(·＋·)＝π.

答案：π

已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，求证：＝.

证明：要证＝成立，

即证＝，

即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，

即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，

即证4sin2α－2sin2β＝1，

∵sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，

∴1＋2sin2β＝4sin2α，

即4sin2α－2sin2β＝1，

故原结论正确．

设数列{an}、{bn}(bn>0，n∈N*)，满足an＝(n∈N*)．

证明：{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列．

证明：充分性：若{bn}为等比数列，设公比为q，则

an＝＝＝lg b1＋(n－1)lg q，

有an＋1－an＝lg q为常数，所以{an}为等差数列．

必要性：由an＝，

得nan＝lg b1＋lg b2＋...＋lg bn，

(n＋1)an＝lg b1＋lg b2＋...＋lg bn＋1，

∴n(an＋1－an)＋an＋1＝lg bn＋1.

若{an}为等差数列，设公差为d，则nd＋a1＋nd＝lg bn＋1.