2．已知函数f(x)＝x2的图像在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是(　　)

　　A. B．(0，－4)

　　C．(2，3) D.

　　解析：选D.由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，

　　则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2.

　　又因为两切线互相垂直，

　　所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.

　　两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，

　　联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.

　　因为x1≠x2，所以x＝，代入l1，

　　解得y＝x1x2＝－，故选D.

　　3．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

　　解析：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝＝ln ＝－e－x.

　　所以在P点处的切线斜率为－e－x0，由题意－e－x0＝－2，即e－x0＝2，x0＝－ln 2，y0＝e－x0＝eln 2＝2，故点P的坐标为(－ln 2，2)．

　　答案：(－ln 2，2)

　　4．设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．

　　解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.

　　答案：2

　　5．求证双曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．

　　证明：由xy＝1，得y＝，所以y′＝－.

　　在双曲线xy＝1上任取一点P，

　　则在点P处的切线斜率k＝－.

　　切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋.

　　设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，

　　则A(2x0，0)，B(0，)，故S△OAB＝|OA|·|OB|

　　＝|2x0|·＝2，

　　所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．

　　6．(选做题)讨论关于x的方程ln x＝kx的解的个数．

解：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x的交点的个数．