当b<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上是增函数;

又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:

当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;

当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.

6.(2018·威海高二检测)若函数f(x)=1/3x3-1/2ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.

【解析】f'(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因为27,所以当a≤7时,

f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.

综上知5≤a≤7.

【一题多解】本题还可以用以下方法解决:

如图所示,f'(x)=(x-1).

因为在(1,4)内f'(x)≤0,在(6,+∞)内f'(x)≥0,且f'(x)=0有一根为1,

所以另一根在上.所以{■(f'(4)≤0,@f'(6)≥0,)┤

即{■(3(5-a)≤0,@5(7-a)≥0,)┤所以5≤a≤7.

【补偿训练】已知函数f(x)=x3-ax-1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.

(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由已知,得f'(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x2≥0,所以