第三章 二　一般形式的柯西不等式

　　[A　基础达标]

　　1．设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值为(　　)

　　A．　　　 B．

　　C．2 D．3

　　解析：选A.由柯西不等式，得(＋＋)2

　　≤[()2＋()2＋()2]

　　＝×1＝，

　　所以＋＋≤＝，当且仅当＝＝2时，等号成立．故选A.

　　2．已知a＋a＋...＋a＝1，x＋x＋...＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋...＋anxn的最大值为(　　)

　　A．1 B．2

　　C．－1 D． 不确定

　　解析：选A.因为(a1x1＋a2x2＋...＋anxn)2 ≤(a＋a＋...＋a)(x＋x＋...＋x)＝1×1＝1，

　　当且仅当ai＝kxi (i＝1，2，...，n)时，等号成立，

　　所以a1x1＋a2x2＋...＋anxn的最大值是1.故选A.

　　3．已知x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为(　　)

　　A．2 B．4

　　C．6 D．8

　　解析：选B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y＋4z)2，

　　又x2＋3y2＋4z2＝2所以2×8≥(x＋3y＋4z)2.

　　所以|x＋3y＋4z|≤4.

　　当且仅当x＝＝，即x＝y＝z＝时取等号．

　　4．设a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则＋＋的最小值为(　　)

　　A．1 B．4

　　C．6 D．9

　　解析：选C.由柯西不等式得

　　(a＋b＋c)

＝[()2＋()2＋()2]