∴归纳得f(2n－1)＝

∴f(2 015)＝f(2×1 008－1)＝，故应填.

答案：

观察下列等式：

13＋23＝(1＋2)2，

13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，

13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，

...，

根据上述规律，第四个等式为____________．

解析：根据已知13＋23＝(1＋2)2，

13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，

13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，...，

可归纳第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.

答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2

设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a2n＋1－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，试归纳猜想这个数列{an}的通项公式．

解：由首项为1，得a1＝1；

当n＝1时，由2a－1＋a2＝0，得a2＝；

当n＝2时，由3a－2×＋a3＝0，即6a＋a3－1＝0，解得a3＝；

...

故可归纳猜想这个数列{an}的通项公式为an＝.

平面内有n条直线(n∈N*)，任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点．用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域的块数，试求f(n)的表达式(用n表示)．

解：如图，f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝7，f(4)＝11，f(5)＝16，....

而f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，

f(4)－f(3)＝4，f(5)－f(4)＝5，

...，

∴f(n)－f(n－1)＝n(n≥2，n∈N*)，

累加得f(n)＝f(1)＋2＋3＋...＋n＝.

[能力提升]

已知在数列{an}中，a1＝3，an－anan＋1＝1(n∈N*)，An表示数列{an}的前n项之积，则A2 015＝________．

解析：由a1＝3，a1－a1a2＝1，得a2＝；

由a2＝，a2－a2a3＝1，得a3＝－；

由a3＝－，a3－a3a4＝1，得a4＝3，知a1＝a4＝3，

因此可归纳猜想出该数列{an}的项从a1开始呈周期性变化，最小正周期为3.

而a1a2a3＝3××＝－1，2 014＝671×3＋1，

2 015＝671×3＋2，

所以a2 014＝a1＝3，a2 015＝a2＝.