【点睛】
本题考查了双曲线的基本性质及直线与圆相切知识,利用直线与圆相切及双曲线的基本性质列方程组,解出a,b即可。
11.D
【解析】
【分析】
设出点A的坐标,确定直线AF_1的方程,利用点到直线的距离公式,及原点O到直线AF_1的距离为1/3 |OF_1 |,建立方程,即可求解渐近线的斜率.
【详解】
由题意,双曲线的渐近线的方程为y=±b/a x,
不妨设A在第一象限,则A(c,bc/a),所以直线AF_1的方程为y-bc/a=(bc/a)/(a/2c)(x-c),
即b/2a x-y+bc/2a=0,所以原点O到直线AF_1的距离为1/3 |OF_1 |,
所以(bc/2a)/√(b^2/(4a^2 )+1)=1/3 c⇒a=√2 b,即b/a=√2/2,
所以双曲线的渐近线的斜率为±√2/2,故选D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中设出点A的坐标,利用点到直线的距离公式求得a,b的关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题.
12.B
【解析】
【分析】
由题意,当l⊥x轴和当l与x轴不垂直时,设直线l:x=my+1,代入抛物线的方程y^2=2x,
设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4),结合|AC|=|BD|,得2√(m^2+2)=2r/√(m^2+1),即可求解.
【详解】
由题意,当l⊥x轴时,过x=1与抛物线交于(1,±2),与圆交于(1,±r),满足题设;
当l与x轴不垂直时,设直线l:x=my+1,m≠0,
代入抛物线的方程y^2=2x,得y^2-2my-2=0,则Δ=4m^2+8,
把直线l:x=my+1代入圆的方程〖(x-1)〗^2+y^2=r^2,整理得y^2=r^2/(m^2+1),
设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4),
因为|AC|=|BD|,所以y_1-y_3=y_2-y_4,即y_1-y_2=y_3-y_4
可得2√(m^2+2)=2r/√(m^2+1),则r=√((m^2+2)(m^2+1))=√(m^4+3m^2+2),
设t=m^2>0,则r=√(t^2+3t+2),此时√(t^2+3t+2)>√2,
所以r>√2,即实数r的取值范围是(√2,+∞),故选B.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,其中解答中利用等价转化思想和分类讨论,求得2√(m^2+2)=2r/√(m^2+1)是解答的关键,着重考查了综合运算能力,以及分析问题和解答问题的能力,属于难题.
13.(-∞,-4)∪(1,+∞)
【解析】
试题分析:由题设可得且,解之得且,故应填k∈(-4,-3/2)∪(-3/2,1).
考点:椭圆的标准方程及运用.
14.-1/2
【解析】
【分析】
根据题意,由椭圆的标准方程可得a,b的值,由椭圆的几何性质可得c的值,由椭圆的定义,得|PF_2 |=2a-|PF_1 |=2,在ΔPF_1 F_2中利用余弦定理,即可求解.
【详解】
根据题意,椭圆的标准方程x^2/9+y^2/2=1,可得a=3,b=√2,则c=√(9-2)=√7,
则有|F_1 F_2 |=2√7,
由椭圆的定义,可得|PF_1 |+|PF_2 |=2a=6,
又由|PF_1 |=4,则|PF_2 |=6-|PF_1 |=2,
则cos∠F_1 PF_2=(4^2+2^2-〖(2√7)〗^2)/(2×4×2)=-1/2.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中涉及到椭圆的定义,三角形的余弦定理等知识点的综合应用,同时利用椭圆的定义求出|PF_2 |的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.