【答案】12/5

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2√2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.

(1)求证:BD⊥平面PAC.

(2)点Q为线段PB的中点,求直线QC与平面PAC所成角的正弦值.

　　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系A-xy .

　　则点A(0,0,0),D(0,2√2,0),B(4,0,0),P(0,0,4),C(2,2√2,0),Q(2,0,2).

　　(1)∵(BD) ⃗=(-4,2√2,0),(AP) ⃗=(0,0,4),(AC) ⃗=(2,2√2,0),

　　∴(BD) ⃗·(AP) ⃗=0,(BD) ⃗·(AC) ⃗=-8+8=0,

　　∴BD⊥AP,BD⊥AC.

　　又∵AP∩AC=A,

　　∴BD⊥平面PAC.

　　(2)(CQ) ⃗=(0,-2√2,2).

　　设平面PAC的法向量为n=(x,y, ),

　　则{■(n"·" (AP) ⃗=0"," @n"·" (AC) ⃗=0"," )┤∴{■(4z=0"," @2x+2√2 y=0"," )┤

　　令x=1,则y=-√2/2, =0,

　　∴n=(1",-" √2/2 "," 0).

　　设直线QC与平面PAC所成的角为θ,

　　则sin θ=|cos<(CQ) ⃗,n>|=("|" (CQ) ⃗"·" n"|" )/("|" (CQ) ⃗" " n"|" )=2/(2√3×√6/2)=√2/3.

　　故直线QC与平面PAC所成角的正弦值为√2/3.

拓展提升(水平二)

8.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　).

A.1/5 B.2/5