【解析】由f(x+2)=1/(f"(" x")" )可知,函数f(x)的周期为4,

　　故f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21+∫_0^(π/6)▒ cos tdt=2+sin t| _0^(π/6)=2+1/2=5/2.

　　【答案】5/2

7.若f(x)是一次函数,且∫_0^1▒ f(x)dx=5,∫_0^1▒ [xf(x)]dx=17/6,求∫_1^2▒ (f"(" x")" )/xdx的值.

　　【解析】∵f(x)是一次函数,∴设f(x)=ax+b(a≠0).

　　由∫_0^1▒ f(x)dx=5,得(1/2 ax^2+bx) _0^1=1/2a+b=5,　①

　　由∫_0^1▒ [xf(x)]dx=17/6,得∫_0^1▒ (ax2+bx)dx=17/6,即(1/3 ax^3+1/2 bx^2 ) _0^1=17/6,

　　即1/3a+1/2b=17/6.　②

　　由①②,得a=4,b=3,∴f(x)=4x+3.

　　所以∫_1^2▒ (f"(" x")" )/xdx=∫_1^2▒ (4x+3)/xdx=∫_1^2▒ (4+3/x)dx=(4x+3ln x) _1^2=4+3ln 2.

拓展提升(水平二)

8.已知函数f(x)=xn+mx的导函数f'(x)=2x+2,则∫_1^3▒ f(-x)dx=(　　).

　　A.0 B.3 C.-2/3 D.2/3

　　【解析】∵f(x)=xn+mx的导函数f'(x)=2x+2,

　　∴nxn-1+m=2x+2,解得n=2,m=2,∴f(x)=x2+2x,∴f(-x)=x2-2x,

　　∴∫_1^3▒ f(-x)dx=∫_1^3▒ (x2-2x)dx=(1/3 x^3 "-" x^2 ) _1^3=9-9-1/3+1=2/3,故选D.

　　【答案】D

9.定义在R上的可导函数y=f(x),如果存在x0∈[a,b],使得f(x0)=(∫_a^b▒f "(" x")" dx)/(b"-" a)成立,那么称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的"平均值点",则函数f(x)=x3-3x在区间[-2,2]上的"平均值点"的个数为(　　).

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【解析】由已知得f(x0)=(∫_("-" 2)^2 x^3 "-" 3x")" dx)/4

　　=((1/4 x^4 "-" 3/2 x^2 )| _("-" 2)^2)/4=0,

　　即x_0^3-3x0=0,解得x0=0或x0=±√3,

　　∴f(x)在区间[-2,2]上的"平均值点"有3个,故选C.

　　【答案】C

10.若函数f(x)在R上可导,且f(x)=x3+x2f'(1),则∫_0^2▒ f(x)dx=　　　　.

　　【解析】∵f(x)=x3+x2f'(1),∴f'(x)=3x2+2xf'(1),

　　∴f'(1)=3+2f'(1),解得f'(1)=-3,

　　　　∴f(x)=x3-3x2.

∴∫_0^2▒ f(x)dx=(1/4 x^4 "-" x^3 ) _0^2=4-8=-4.