2.2　分析法

1.已知a,b是不相等的正数,x=(√a+√b)/√2,y=√(a+b),则x,y的关系是(　　)

A.x>y B.x√2y D.不确定

解析:∵x>0,y>0,∴要比较x,y的大小,

　　只需比较x2,y2的大小,

　　即比较(a+b+2√ab)/2与a+b的大小.

　　∵a,b为不相等的正数,∴2√ab

　　∴(a+b+2√ab)/2

答案:B

2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:若a>b>c,且a+b+c=0,求证:√(b^2 "-" ac)<√3a索的因应是(　　)

A.a-b>0 B.a-c>0

C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0

解析:要证√(b^2 "-" ac)<√3a,只需证b2-ac<3a2.

　　∵b=-(a+c),

　　∴只需证(a+c)2-ac<3a2.

　　即只需证c2+ac<2a2, 学 Z

　　即只需证(c+2a)(c-a)<0.

　　∵c=-a-b,

　　∴只需证(a-b)(c-a)<0.

　　即只需(a-b)(a-c)>0,故选C.

答案:C

3.若x,y为正实数,且√x+√y≤a√(x+y) 恒成立,则a的最小值是(　　)

A.2√2 B.√2 C.2 D.1

解析:∵x,y为正实数,∴要使√x+√y≤a√(x+y)恒成立,只需a≥(√x+√y)/√(x+y)恒成立.

　　∵((√x+√y)/√(x+y))^2=(x+y+2√xy)/(x+y)=1+(2√xy)/(x+y)≤2,当且仅当x=y时,等号成立,∴(√x+√y)/√(x+y)≤√2.故a≥√2.

答案:B

4.已知x,y为正实数,当x2+y2=　　　　　时,有x√(1"-" y^2 )+y√(1"-" x^2 )=1.

解析:要使x√(1"-" y^2 )+y√(1"-" x^2 )=1,

　　只需x2(1-y2)=1+y2(1-x2)-2y√(1"-" x^2 ),

　　即2y√(1"-" x^2 )=1-x2+y2.

只需(√(1"-" x^2 )-y)2=0, Z, ,k ]