a,c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹.
解:由已知条件可得b+c=2a,则|AC|+|AB|=2|BC|=4>|BC|,结合椭圆的定义知点A在以B,C为焦点的一个椭圆上,且椭圆的焦距为2.
以BC所在的直线为x轴,BC的中点为原点O,建立平面直角坐标系,如图所示.
设顶点A所在的椭圆方程为+=1(m>n>0),则m=2,n2=22-12=3,从而椭圆方程为+=1.又c>a>b且A是△ABC的顶点,结合图形,易知x>0,y≠0.
故顶点A的轨迹是椭圆+=1的右半部分除去与x轴,y轴的交点.
10.设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,
(1)若PF1⊥PF2,且|PF1|>|PF2|,求的值.
(2)当∠F1PF2为钝角时,求|PF2|的取值范围.
解:(1)因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2为直角,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2.
所以
解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.
(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=6.
因为∠F1PF2为钝角,所以cos∠F1PF2<0.
又因为cos∠F1PF2=<0,所以r+r<20,所以r1r2>8,所以(6-r2)r2>8,
所以2 即|PF2|的取值范围是(2,4). [B.能力提升] 1.已知点P是椭圆+=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)=0,则|OM|的取值范围是( ) A.[0,3) B.(0,2) C.[2,3) D.[0,4] 解析:选B.延长F1M交PF2的延长线于点N, 可得|OM|=|F2N|=(|PN|-|PF2|) =(2a-2|PF2|)=a-|PF2|. 设点P的坐标为(x0,y0), 则+=1. |PF2|==|x0-4| =4-x0, 故|OM|=a-|PF2|=4-(4-x0)=x0. 由题意知x0∈(-4,0)∪(0,4).