∴1-4xy≥0,从而xy(1-4xy)≥0成立.0②

　　由①②矛盾知,假设不成立.

　　∴(1/x^2 "-" 1)(1/y^2 "-" 1)≥9.

答案:(1/x^2 "-" 1)(1/y^2 "-" 1)≥9

8.设二次函数f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2.

分析当要证明的几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法.

证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2,则

　　|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.0①

　　另一方面,由绝对值不等式的性质,有

　　|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|

　　=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2.0②

　　①②两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2.

9.用几何法证明:若a,b,m都是正数,aa/b.

证明如图,在坐标平面内,设点M(b,a),N(-m,-m),

　　因为a,b,m都是正数,且aOM的斜率,即(a+m)/(b+m)>a/b.

10.已知f(x)=√(1+x^2 ),a≠b,且ab>0.求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

分析利用f(x)=√(1+x^2 )的结构特点构造几何中两点间的距离,通过三角形中的三边关系来证明.

证明f(a)=√(1+a^2 )表示平面上点A(1,a)到点O(0,0)的距离,f(b)=√(1+b^2 )表示点B(1,b)到点O(0,0)的距离.而|a-b|表示A(1,a)及B(1,b)两点间的距离,如图所示.