7.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在关系式h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则起跳后1 s的瞬时速度是　　　　　.

解析:∵h(t)=-4.9t2+6.5t+10,

　　∴Δh(t)=-4.9(1+Δt)2+6.5(1+Δt)+10-(-4.9×12+6.5×1+10)

　　=-4.9[1+2Δt+(Δt)2]+6.5+6.5Δt+10+4.9-6.5-10

　　=-9.8Δt+6.5Δt-4.9(Δt)2

　　=-4.9(Δt)2-3.3Δt.

　　∴Δh/Δt=-4.9(Δt)2-3.3.

　　当Δt趋于0时,Δh/Δt趋于-3.3.

答案:-3.3 m/s

8.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=1/3t3-3/2t2+2t,那么速度为零的时刻是　　　　　.

解析:∵s=1/3t3-3/2t2+2t,

　　∴Δs=1/3(t+Δt)3-3/2(t+Δt)2+2(t+Δt)-1/3t3+3/2t2-2t

　　=1/3(Δt)3+(t"-" 3/2)(Δt)2+(t2-3t+2)Δt,

　　Δs/Δt=1/3(Δt)2+(t"-" 3/2)Δt+t2-3t+2.

　　当Δt趋于0时,Δs/Δt趋于t2-3t+2.

　　当t2-3t+2=0时,解得t1=1,t2=2.

　　即速度为零的时刻为t=1 s和t=2 s.

答案:1 s,2 s

9.利用定义求函数y=-2x2+5在x=2处的瞬时变化率.

解:因为在x=2附近,Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,

　　所以函数在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为Δy/Δx=("-" 8Δx"-" 2"(" Δx")" ^2)/Δx=-8-2Δx.

　　当Δx趋于0时,Δy/Δx趋于-8.

　　故函数y=-2x2+5在x=2处的瞬时变化率为-8.

10.一辆汽车按规律s=3t2+1作直线运动,通过平均变化率,估计汽车在t=3 s时的瞬时速度(时间单位:s,位移单位:m).

解:汽车在[3,3+Δt]上的平均速度为

　　Δs/Δt=(s"(" 3+Δt")-" s"(" 3")" )/Δt=(3"(" 3+Δt")" ^2+1"-" 3×3^2 "-" 1)/Δt=18+3Δt.

　　当Δt趋于0时,Δs/Δt趋于18.

　　故汽车在t=3 s时的瞬时速度为18 m/s.

11.(拔高题)航天飞机发射后的一段时间内,第t时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.

(1)h(0),h(1)分别表示什么;

(2)求第1 s内高度的平均变化率;

(3)求第1 s末高度的瞬时变化率,并说明它的意义.

解:(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度,h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度.

　　(2)Δh/Δt=(h"(" 1")-" h"(" 0")" )/(1"-" 0)=80(m/s),

　　即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.

　　(3)h'(1)=lim┬(Δt"→" 0) Δh/Δt=(lim)┬(Δt"→" 0) (h"(" 1+Δt")-" h"(" 1")" )/Δt=lim┬(Δt"→" 0)[5(Δt)2+45Δt+120]=120,

　　即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s.

　　它说明在第1 s末附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加.