故当n=k+1时，不等式成立.

由1°，2°,可知对任意n∈N,n≥1，原不等式成立.

8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n>1且n∈N时，试证明an+cn>2bn.

证明：（1）当n=2时，∵a2+c2>2()2=2b2,即命题成立.

（2）设当n=k(k≥2)时，有ak+ck>2bk.

由于a,c为正数，所以(ak-ck)与a-c同号，即（ak-ck）(a-c)>0,亦即ak+1+ck+1>akc+ack,

∴ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>(ak+1+ck+1+akc+ack)

=(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b>2bk+1,

即n=k+1时成立.

由（1）、（2）,知对于n>1且n∈N时命题成立.

拓展探究

9已知x1>0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,3,...)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足xnxn+1.

证明：由于xn+1-xn=-xn=且x1>0,又由题设可知对任意n∈N,有xn>0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x1<1与x1>1两种情况讨论.

（1）若x1<1,用数归纳法证明1-xn2>0.

1°当n=1时，1-x12>0成立.

2°假设当n=k时，1-xk2>0成立，则当n=k+1时，1-xk+12=1-［］2=>0，即当n=k+1时，有1-xk+12>0成立.故对任意n∈N,都有1-xn2>0,∴对任意n∈N,有xn+1>xn.

(2)若x1>1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2<0,此时有xn+1

备选习题

10求证：n≥3时，>1.

证明：用数学归纳法.当n=3时，>1,命题成立.

根据归纳假设，当n=k(k≥3)时，命题成立，即>1.①

要证明n=k+1时，命题也成立，即

>1.②