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A．-√5/5 B．√5/5 C．√2/2 D．1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义得到f'(x)＝excos x－exsin x，∴f'(0)＝1，倾斜角为α，则tan α＝1，进而可求得余弦值.

【详解】

∵f'(x)＝excos x－exsin x，∴f'(0)＝1.设曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为α，则tanα＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝π/4，∴cos α＝√2/2.

故答案为：C.

【点睛】

这个题目考查了导数的几何意义，导数在某点处的函数值即为曲线在该点处的切线的斜率值，即此点处切线的倾斜角的正切值，一般已知正切值或范围求角，需要结合正切函数的图像得到结果.

二、解答题

7．已知函数f(x)=1/3 x^3+4/3.

（Ⅰ）求函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程；

（Ⅱ）求过点P(2,4)的函数f(x)的切线方程.

【答案】（Ⅰ）4x-y-4=0（Ⅱ）x-y+2=0或4x-y-4=0

【解析】

试题分析：

（1）由函数的解析式可得y^'=x^2，则所求切线的斜率k=4，计算可得切线方程为4x-y-4=0．

（2）由题意，设切点坐标为A(x_0,1/3 〖x_0〗^3+4/3)，则切线的斜率k=x_0^2，切线方程为y=x_0^2⋅x-2/3 x_0^3+4/3，点P(2,4)在切线上，据此得到关于x_0的方程，解方程可得x_0=-1或x_0=2，故切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0．

试题解析：

（1）∵y^'=x^2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y^' |〖_(x=2)〗 =4；

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0．

（2）设曲线y=1/3 x^3+4/3与过点P(2,4)的切线相切于点A(x_0,1/3 〖x_0〗^3+4/3)，

则切线的斜率k=y^' |〖_(x=x_0 )〗 =x_0^2，

∴切线方程为y-(1/3 x_0^3+4/3)=x_0^2 (x-x_0 )，即y=x_0^2⋅x-2/3 x_0^3+4/3．

∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x_0^2-2/3 x_0^3+4/3，即x_0^3-3x_0^2+4=0，

∴x_0^3+x_0^2-4x(_0^2)+4=0，即x_0^2 (x_0^ +1)-4(x_0+1)(x_0-1)=0，解得x_0=-1或x_0=2，

故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0．

点睛：曲线y＝f(x)"在点P(x0，y0)处的切线"与"过点P(x0，y0)的切线"的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．要注意两者的区别与联系.