10.连接双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1和y^2/b^2 -x^2/a^2 =1(其中a>0,b>0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当S_1/S_2 的值最大时,双曲线y^2/b^2 -x^2/a^2 =1的离心率为.

　　【解析】由题意可知S1=1/2×2a×2b=2ab,S2=1/2×2c×2c=2c2,

　　∴S_1/S_2 =ab/c^2 =ab/(a^2+b^2 )=1/(b/a+a/b)≤1/2,当且仅当b/a=a/b,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线y^2/b^2 -x^2/a^2 =1的离心率为e=c/a=√2.

　　【答案】√2

11.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.

(1)求实数k的取值范围.

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

　　【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.　①

　　依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,

　　故{■(k^2 "-" 2≠2"," @Δ="(" 2k")" ^2 "-" 8"(" k^2 "-" 2")" >0"," @"-" 2k/(k^2 "-" 2)>0"," @2/(k^2 "-" 2)>0"," )┤

　　解得-2

　　(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得{■(x_1+x_2=2k/(2"-" k^2 ) "," @x_1+x_2=2/(k^2 "-" 2) "." )┤　②

　　假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).

　　则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,

　　即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.

　　整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.　③

　　把②式及c=√6/2代入③式,化简得5k2+2√6k-6=0,

　　解得k=-(6+√6)/5或k=(6"-" √6)/5(舍去).

　　可知当k=-(6+√6)/5时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.