∵cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα=m.

∴cos（α-β-α)=m.

∴cosβ=m.而β为第三象限角，

∴sinβ=.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.下列四个命题中的假命题是（ ）

A.存在这样的α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ

B.不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ

C.对任意的α和β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

D.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ

解析：由于选项C是公式，故选项C、D显然正确，对于选项A，可令α=2kπ，k∈Z，β=2kπ+时，cos（2kπ+2kπ+)=0，cos2kπ·cos（2kπ+)+sin2kπsin（2kπ+)=0，因此存在无数多个α、β，使得cos（α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ，但不是对任意的α、β均成立，所以选项A也是真命题.

答案:B

2.已知cos（α+β）+cos（α-β）=，则cosαcosβ的值为（ ）

A. B. C. D.

解析：由两角和与差的余弦公式cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,

cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，

所以cos（α+β)+cos（α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2cosαcosβ=，

∴cosαcosβ=.

答案:D

3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）

A. B. C. D.

解析：原式=sin163°sin223°+sin（90°+163°)sin（90°+223°)=sin163°sin223°+cos163°cos223° =cos（223°-163°)=cos60°=.

答案:B

4.已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β）的值是（ ）

A.1 B.-1 C. D.

解析：由已知可得sinα+sinβ=-sinγ， ①

cosα+cosβ=-cosγ. ②

①2+②2,得2+2cos（α-β)=1.