5.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则"PQR>0"是"P,Q,R同时大于零"的　　　　　条件.

解析必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.

答案充要

6.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出"a,b中至少有一个大于1"的条件是　　　　　.(填序号)

解析①可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;④a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.

答案③

7.设f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

证明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|

　　=|(a-b)(a+b-1)|

　　=|a-b||a+b-1|,

　　因为0≤a≤1,0≤b≤1,

　　所以0≤a+b≤2.

　　所以-1≤a+b-1≤1,

　　所以|a+b-1|≤1.

　　故|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:(1+x)/y,(1+y)/x中至少有一个小于2.

证明假设(1+x)/y,(1+y)/x都不小于2,即

　　(1+x)/y≥2,且(1+y)/x≥2.

　　因为x>0,y>0,

　　所以1+x≥2y,且1+y≥2x.

　　把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),

　　从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.

　　因此,(1+x)/y,(1+y)/x都不小于2是不可能的,即原命题成立.

9.导学号26394039已知Sn=sin1/2+sin2/2^2 +sin3/2^3 +...+sinn/2^n ,求证:对于正整数m,n,当m>n时,|Sm-Sn|<1/2^n .

证明记ak=sink/2^k (k∈N+),则|ak|≤1/2^k .

　　于是,当m>n时,|Sm-Sn|

=|〖〖a_n〗_+〗_1+〖〖a_n〗_+〗_2+...+am|