C.x^2/12+y^2/9=1或x^2/9+y^2/12=1

D.以上都不对

【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,

因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=√3/2|F1F2|,可得b=√3c,即√(a^2-c^2 )=√3c.①

又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为√3,

所以a-c=√3,②

联立①②,可得a=2√3,c=√3,b=√(a^2-c^2 )=3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为x^2/12+y^2/9=1或x^2/9+y^2/12=1.

5.已知椭圆x^2/4+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且(MF_1)┴→·(MF_2)┴→=0,则点M到x轴的距离为　(　　)

A.(2√3)/3 B.(2√6)/3 C.√3/3 D.√3

【解题指南】由(MF_1)┴→·(MF_2)┴→=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.

【解析】选C.由(MF_1)┴→·(MF_2)┴→=0,得MF1⊥MF2,可设(|MF_1)┴→|=m,(|MF_2)┴→|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,

所以S_(△F_1 MF_2 )=1/2·mn=1,

设点M到x轴的距离为h,则1/2×|F1F2|×h=1,

又|F1F2|=2√3,故h=√3/3.

二、填空题 (每小题5分,共15分)

6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为　　　　.

【解析】由题意可得{■(a+c=3,@a-c=1.)┤所以{■(a=2,@c=1.)┤

故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1.

答案:x^2/4+y^2/3=1

7.设P是椭圆x^2/16+y^2/9=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大