§2　空间向量的运算

第1课时　空间向量的线性运算

1.已知a,b,c是任意三个空间向量,λ是实数,下列关系式中不成立的是(　　)

A.a+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λb

C.(a+b)+c=a+(b+c) D.a=λb

解析:本题主要考查空间向量加法运算和数乘运算以及空间向量共线条件的应用.因为a,b,c是任意三个空间向量,且只有a,b共线时才有a=λb,所以a=λb不一定成立.故选D.

答案:D

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(DD_1 ) ⃗-(AB) ⃗+(BC) ⃗化简后的结果是(　　)

A.(BD_1 ) ⃗B.(D_1 B) ⃗C.(B_1 D) ⃗D.(DB_1 ) ⃗

解析:如图所示,∵(DD_1 ) ⃗=(AA_1 ) ⃗,

　　∴(DD_1 ) ⃗-(AB) ⃗=(AA_1 ) ⃗-(AB) ⃗=(BA_1 ) ⃗.

　　∵(BA_1 ) ⃗+(BC) ⃗=(BA_1 ) ⃗+(A_1 D_1 ) ⃗=(BD_1 ) ⃗,

　　∴(DD_1 ) ⃗-(AB) ⃗+(BC) ⃗=(BD_1 ) ⃗.

答案:A

3.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是(　　)

A.(EB) ⃗+(BF) ⃗+(EH) ⃗+(GH) ⃗=0

B.(EB) ⃗+(FC) ⃗+(EH) ⃗+(GE) ⃗=0

C.(EF) ⃗+(FG) ⃗+(EH) ⃗+(AH) ⃗=0

D.(EF) ⃗-(FB) ⃗+(CG) ⃗+(GH) ⃗=0

解析:因为E,F,G,H分别是所在边的中点,所以四边形EFGH是平行四边形,其中(EH) ⃗=(FG) ⃗,且(FC) ⃗=(BF) ⃗,而E,B,F,G四点构成一个封闭图形,首尾相接的向量的和为零,即有(EB) ⃗+(FC) ⃗+(EH) ⃗+(GE) ⃗=0.

答案:B

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为(BD_1 ) ⃗的是(　　)

①((A_1 D_1 ) ⃗-(A_1 A) ⃗)-(AB) ⃗;②((BC) ⃗+(BB_1 ) ⃗)-(D_1 C_1 ) ⃗;

③((AD) ⃗-(AB) ⃗)-2(DD_1 ) ⃗;④((B_1 D_1 ) ⃗-(A_1 A) ⃗)+(DD_1 ) ⃗.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

解析:①((A_1 D_1 ) ⃗-(A_1 A) ⃗)-(AB) ⃗=(AD_1 ) ⃗-(AB) ⃗=(BD_1 ) ⃗;

②((BC) ⃗+(BB_1 ) ⃗)-(D_1 C_1 ) ⃗=(BC_1 ) ⃗-(D_1 C_1 ) ⃗=(BC_1 ) ⃗+(C_1 D_1 ) ⃗=(BD_1 ) ⃗;

③((AD) ⃗-(AB) ⃗)-2(DD_1 ) ⃗=(BD) ⃗-2(DD_1 ) ⃗