答案:C

7.已知关于x的实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论中正确的是(　　)

①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.

A.③ B.①②

C.①②③ D.①②③④

解析:当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两相异实根;Δ=b2-4ac=0时,方程有两相等实根.

　　故结论①②③④均正确.

答案:D

8.下列不等式:①x<1;②0

答案:②③④

9.对任意实数a,b,c,给出下列命题:

①"a=b"是"ac=bc"的充要条件;②"a+5是无理数"是"a是无理数"的充要条件;③"a>b"是"a2>b2"的充分条件;④"a<5"是"a<3"的必要条件.

将所有正确命题的序号填在横线上　　　　　.

解析:①若"a=b",则" ac=bc"成立.但ac=bc,若c=0,则可能a≠b,故①错;②正确;③若"a>b",则a2>b2不一定成立,例如,a=-1,b=-3,故③错;④若a<3,则a<5一定成立,故"a<5"是"a<3"的必要条件,④正确.

答案:②④

10. 已知条件p:k=√3;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的　　　　　　　　　　.(填"充分不必要条件""必要不充分条件""充要条件"或"既不充分也不必要条件")

答案:充分不必要条件

11.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2.

证明:(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0.所以x2+mx+1=0有实根.设两根为x1,x2,由根与系数的关系,知x1x2=1>0,所以x1与x2同号.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负实数,即x2+mx+1=0有两个负实数根的充分条件是m≥2.

　　(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实数根,

　　设为x1和x2,则x1x2=1,x1+x2=-m,Δ=m2-4≥0,

　　所以m-2=-(x1+x2)-2

　　=-(x_1+1/x_1 )-2=-("(" x_1+1")" ^2)/x_1 ≥0.

　　故m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实数根的必要条件是m≥2.

　　综上所述,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2.

12.(拔高题)关于x的不等式|x"-" ("(" a+1")" ^2)/2|≤("(" a"-" 1")" ^2)/2 与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A与B,问"A⊆B"是"1≤a≤3或a=-1"的充要条件吗?并说明理由.

解:是.理由如下:A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}.

　　①当2≤3a+1,即a≥1/3 时,B={x|2≤x≤3a+1}.所以A⊆B⇔{■(2a≥2"," @a^2+1≤3a+1)┤⇔1≤a≤3.

　　②当2>3a+1,即a<1/3 时,B={x|3a+1≤x≤2}.所以A⊆B⇔{■(2a≥3a+1"," @a^2+1≤2)┤⇔a=-1.

　　综上所述,A⊆B⇔a=-1或1≤a≤3.

　　所以"A⊆B"是"1≤a≤3或a=-1"的充要条件.