A.k2+1

B.(k+1)2

C.("(" k+1")" ^4+"(" k+1")" ^2)/2

D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+...+(k+1)2

解析:当n=k时,等式左端=1+2+...+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+...+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+...+(k+1)2,所以当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+...+(k+1)2.

答案:D

2.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+...+n·1=1/6n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=(　　)

A.k+1

B.1·(k+1)+(k+1)·1

C.1+2+3+...+k

D.1+2+3+...+k+(k+1)

解析:依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+...+k·1,则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+...+k·2+(k+1)·1,∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+...+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+...+k+(k+1),故选D.

答案:D

3.导学号88184012设n∈N+,f(n)=5n+2×3n-1+1.

(1)当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;

(2)你对f(n)有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想.

解(1)当n=1时,f(1)=51+2×31-1+1=8=8×1;

　　当n=2时,f(2)=52+2×32-1+1=32=8×4;

　　当n=3时,f(3)=53+2×33-1+1=144=8×18;

　　当n=4时,f(4)=54+2×34-1+1=680=8×85.

　　(2)猜想:当n∈N+时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除.

　　①当n=1时,由(1)知命题成立.

　　②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时命题成立,即f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,则当n=k+1时,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1).

　　这里,5k,3k-1都是奇数,二者的和为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除,又f(k)能被8整除,故f(k+1)能被8整除,即当n=k+1时命题也成立.

　　根据①和②,可知命题对任意n∈N+都成立.

4.导学号88184013观察下列各不等式:

1+1/2^2 <3/2,

1+1/2^2 +1/3^2 <5/3,

1+1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 <7/4,