§8　最小二乘估计

学习目标　1.了解最小二乘法，会用给出的公式建立线性回归方程.2.理解回归直线与观测数据的关系，能用线性回归方程进行估计和预测.

知识点一　最小二乘法

思考　具有线性相关关系的散点大致分布在一条直线附近.如何确定这条直线比较合理？

答案　应该使散点整体上最接近这条直线.

梳理　(1)最小二乘法的定义

如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，...，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋...＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.

(2)最小二乘法的应用

利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合.

知识点二　线性回归方程

1.回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.

2.回归直线对应的方程y＝a＋bx叫作线性回归方程，简称回归方程.

3.如果用表示，用表示，则可以求得

b＝

＝.

a＝－b.