§3.2.3　利用向量解决平行与垂直问题

【学情分析】：

　　教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.

【教学目标】：

（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：向量法与坐标法.

【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.

【课前准备】：Powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入 1． 用空间向量解决立体几何问题的"三步曲".

2． 平行与垂直关系的向量表示。 为学习新知识做准备. 二、探究新知

一、用向量处理平行问题

分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。

评注：

　　向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使

　　　　　　　　　　p=xa+yb.

利用共面向量定理可以证明线面平行问题。

　　本题用的就是向量法。

（图略）

分析：面面平行线面平行线线平行。

评注：

　　由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。

　　本题选用了坐标法。

思考：

　　一般应如何建立空间直角坐标系？

二、用向量处理垂直问题

（图略）

　　分析：线面垂直线线垂直。

评注：

　　本题若用一般法证明，容易证A'F垂直于BD，而证A'F垂直于DE，

或证A'F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。

例4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）

已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，，A为垂足，

求证：

证明：

例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。

联系共线向量来理解。

例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。

例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。

让学生体会坐标法的优势。

用向量法证明三垂线定理。