第3章 数系的扩充与复数的引入

3．1 数系的扩充

一、学习内容、要求及建议

知识、方法 要求 建议 数系的扩充 了解 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 复数的概念 理解 学习复数的相关概念；体会复数a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件． 复数的相等 理解 理解两个复数相等的充要条件． 二、预习指导

1．预习目标

　　了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．

2．预习提纲

(1)回忆、归纳数系扩充的过程，体会实际需要与数学内部的矛盾对数系扩充的作用，感受数与现实世界的联系．

(2)对引入的新数有哪两项规定?

①______________ ；

②______________ ．

(3)a=0是复数z=a＋b为纯虚数的充分条件吗?

(4)两个复数相等的充要条件是_____________．

(5)阅读课本第103页至第105页内容，并完成课后练习．

(6)结合课本第104页的例1，学习复数的相关概念；结合课本第104页的例2，进一步体会复数a＋b是实数、虚数和纯虚数的条件；结合课本第105页的例3，感悟和体会两个复数相等的充要条件．

3．典型例题

(1)复数的相关概念

　　 实数(b=0)

复数a＋b(a，b∈R) 纯虚数(a=0，且b≠0)

　　 虚数(b≠0)

　　 非纯虚数(a≠0，且b≠0)

例1 实数x分别取什么值时，复数z= x2＋ x - 6 ＋ (x2 - 2x - 15)是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?

分析：先明确复数的实部、虚部分别是什么，然后利用复数的相关概念即可．

　解：由知：复数的实部为x2 ＋ x - 6，虚部为x2 - 2x - 15．

(1) 要使z是实数，则x2 - 2x - 15=0，从而当x= －3或5时，z是实数；

(2) 要使z是虚数，则x2 - 2x - 150，从而当时，z是虚数；