3.2.2　空间线面关系的判定(二)--垂直关系

学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．

知识点一　向量法判断线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

知识点二　向量法判断线面垂直

思考　若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？

答案　垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直．

判断直线与平面的位置关系的方法：

(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线⇒l⊥α.

(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内．

(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.

梳理　设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．

知识点三　向量法判断面面垂直

思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？

答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.