2.3　数学归纳法(一)

[学习目标]

1．了解数学归纳法的原理．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

[知识链接]

1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？

答　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．

2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？

答　(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．

3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？

答　(1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．

[预习导引]

1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

2．应用数学归纳法时注意几点：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

(3)步骤②的证明必须以"假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立"为条件．

要点一　正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化

例1　已知f(n)＝1＋＋＋...＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．