位置关系的向量解法学案

【教学目标】

一、课程标准要求

　　1．理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．

　　2．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．

　　3．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．

二、考纲要求

空间向量的共线与垂直、直线的方向向量与平面的法向量均为B级要求．

【知识梳理】

1. 直线的方向向量及其应用

（1）直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 平行（或共线）的向量，有 无数个．

（2）利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面：①若有直线，点是直线上一点，向量是的方向向量，在直线上取，则对于直线上任意一点，一定存在实数使得 ，这样，点和向量不仅可以确定的位置，还可具体表示出上的任意点．②空间中平面的位置可以由上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点，它们的方向向量分别是，为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得= ，这样，点与方向向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出上的任意点．

2.平面的法向量就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 无数个，它们是 共线 向量．

3.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用：

（1）直线的方向向量，直线的方向向量为：

如果∥，那么∥ ．

如果，那么 ．

（2）直线的方向向量为，平面的法向量为．

如果∥，那么 ．

如果，那么∥ ．

（3）平面的法向量为，平面的法向量为．

如果∥，那么∥ ．

如果，那么 ．

【基础自测】

1.设平面的法向量为（1，2，-2），平面的法向量为（-2，-4，k），若∥，则k= .