1．3．2 函数的极值与导数(1)

一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.

二、教学重点：求函数的极值.

　　教学难点：严格套用求极值的步骤.

三、教学过程：

（一）函数的极值与导数的关系

1、观察下图中的曲线

a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．

2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，

思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点

处的函数值，比较有什么特点?

（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，

　　我们说 f(0) 是函数的一个极大值；

　（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，

　　则f(2)是函数的一个极小值．

　函数y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．

　函数y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )．

3、极值的概念：

　　一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)

我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值＝f(x0)；

　　如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f (x0)

　　我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．

　　极大值与极小值统称为极值．

4、观察下图中的曲线

考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．

上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，

极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．

函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．

　　函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．

　　函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．

5、利用导数判别函数的极大（小）值：

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：