§3 双曲线

3.1 双曲线及其标准方程

自主整理

1.我们把平面内到两定点F1,F2的距离之_____________等于_____________ (小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.

定点F1,F2叫作双曲线的_____________,两个焦点之间的距离叫作双曲线的_____________.

2.焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_____________,焦点F1_____________,F2_____________,这里有_____________=b2(b>0).

3.焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_____________.焦点F1_____________,F2_____________,这里有_____________=b2(b>0).

高手笔记

1.在双曲线定义中"常数要大于0且小于|F1F2|"这一限制条件十分重要,不可去掉.

2.如果定义中常数改为等于|F1F2|,此时动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).

3.如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.

4.如果定义中常数改为大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.

5.若定义中"差的绝对值"中的"绝对值"去掉的话,点的轨迹成为双曲线的一支.

6.=1(a>0,b>0)是焦点在x轴上的双曲线的标准方程,它的焦点坐标是F1(-c,0),F2(c,0),有关系式c2=a2+b2.

如果双曲线的焦点在y轴上(如图),焦点是F1(0,-c),F2(0,c),只要将标准方程的x,y互换就可以得到它的方程=1,此方程是焦点在y轴上的双曲线的标准方程.

7.通过比较两种不同类型的双曲线方程=1和=1(a>0,b>0).可以看出,如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.

8.掌握椭圆,双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系:

椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|-|MF2|=±2a 因为a>c>0,所以令a2-c2=b2(b>0) 因为00) =1=1(a>b>0) =1=1(a>0,b>0,a不一定大于b)