第7节 向心力

1.做匀速圆周运动的物体具有 ，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于 ，这个合力叫做 。

2.向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种

来命名的，它是从 命名的。

3.变速圆周运动所受的合力 。

4.做变速圆周运动的物体，根据它所受合力F产生的效果，可以把F分解为两个 的分力；跟 的分

力F_t和 的分力F_n 、F_t产生 的加速度，这就是 。切向加速度描述物体速度 改变的快慢。

{即讲即练}

【典题例释】 【我行我秀】 【例1】下面说法正确的是( )

A.因为物体做圆周运动，所以才产生向心力

B.因物体有向心力存在，所以才迫使物体不断改变运动的方向而做圆周运动

C.因为向心力的方向与线速度的方向垂直，所以向心力对做圆周运动的物体不做功

　　D.向心力是圆周运动物体所受的合力

【思路分析】本题考查学生对"向心力"概念的理解程度，某些初学者认为"圆周运动产生向心力"，认为向心力是不同于其他性质力的"新力"，因而造成错选A，又由于有部分同学没有弄清"圆周运动"和"匀速圆周运动"中所受合力与向心力的关系而错选D．做匀速圆周运动的物体所受的合力即为向心力，与速度方向垂直而不改变速度的大小；而一般圆周运动中向心力只是所受合力的一个分力，另一个分力沿圆周的切线方向，改变了速度的大小．所以，深入理解概念是解答本题的关键。

【答案】BC

【类题总结】本题旨在考查学生对"向心力"概念的理解程度，弄清向心力的来源及作用效果。向心力只是所受合力的一个分力，只改变速度的方向。另一个分力沿圆周的切线方向，改变速度的大小。

【例2】长L＝0．5 m，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量m＝2 kg的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动．当通过最高点时，如图5-7-1所示，求下列情况下，杆受到的力(计算出大小，并说明是拉力还是压力，g取

10 m/s2)：

　(1)当v＝1m/s时，杆受到的力为多少牛是，什么力?

(2)当v＝4m/s时，杆受到的力为多少牛，是什么力?

【思路分析】杆可以给球提供支持力(向上)或拉力(向下)，在方向未知的情况下，可以先假设向上，若计算结果FN>0，说明FN，的实际方向与假设方向相同；若FN<0，说明FN的实际方向与假设方向相反；若FN＝0说明杆对小球无作用力(临界)

【答案】设小球受到杆的作用力F_N向上，如图5-7-2所示，

则（1）F_"向" =m 〖v_1〗^2/L，即mg-F_N1=m 〖v_1〗^2/L

F_N1=mg- m 〖v_1〗^2/L=2×10N-2×1^2/0.5 N=16N

根据牛顿第三定律：杆受到的压力F_N1^'=16N，方向竖直向下.

（2）F_"向" =mg- m 〖v_2〗^2/L=2×10N-2×4^2/0.5 N=-44N

　负号说明F_N2与规定方向相反，故球受到杆的作用力F_N2=44N，方向应竖直向下.

　根据牛顿第三定律，杆受到球的拉力F_N2^'=44N，方向竖直向下.

【类题总结】本题考查圆周运动临界条件的应用，可以先利用临界条件判断力的方向，或先假设朝某一方向，然后根据所求结果判断其实际方向。

【例3】如图6-7-6所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )

A.球A的线速度必定大于球B的线速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期

D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

【思路分析】两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它的弹力〖 F〗_N的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示。由图可知，筒壁对球的弹力〖 F〗_N=mg/sinθ，对于A 、B两球受到的筒壁的压力大小相等，D选项不正确。

对球运用牛顿定律得mgcotθ=m v^2/r=mω^2 r=m (4π^2 r)/T^2 ，球的线速度v=√grcotθ，角速度ω=√grcotθ/r，周期T=2π√(r/gcotθ) 。

【答案】AB

【类题总结】由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度。球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，A球的运动频率小于B球的运动频率。

【例4】如图6-7-9所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m.并知M和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态?(g取10m/s2)

【思路分析】设物体M和水平面保 持相对静止，当ω具有最小值时， 图6-7-9

M有向圆心运动的趋势.所以M受到的静摩擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力.当ω具有最大值，M有离开圆心趋势，M受到最大静摩擦力为2N，指向圆心.

【答案】①当ω具有最小值时，隔离M受力分析有，

T-f_m=M〖ω_1〗^2 r

又T=mg

0.3×10-2=0.6〖ω_1〗^2×0.2

ω_1=2.9rad/s

②当ω具有最大值时，隔离M受力分析有，

T+f_m=M〖ω_2〗^2 r

又T=mg

0.3×10+2=0.6〖ω_2〗^2×0.2

ω_2=6.5rad/s

∴ω的范围是2.9 rad/s≤ω≤6.5rad/s

【类题总结】应取物体M研究，物体M随盘转动的向心力应由绳的拉力和盘面的摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，绳的拉力总等于重力mg。 1(1). 关于向心力，以下说法中不正确的是( )

A.是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力

B.向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力

C.向心力是线速度变化的原因

D.只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动

1(2). 关于向心力，下列说法正确的是 ( )

A.向心力是一种效果力

B.向心力是一种具有某种性质的力

C.向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变速度的大小

D.向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

1(3).飞机在空中做匀速圆周运动表演时，下列说法正确( )

　　A.飞机必须受到恒力的作用

　　B.飞机所受合力必须等于零

　　C.飞机所受合力的大小可能变化

　　D.飞机所受合力的大小不变，方向时刻改变

2(1). -水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量为0.3kg的铁块，铁块与中间一根质量可以不计的弹簧秤相连接，如图所示。铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10rad/s时，铁块距中心O点40cm远，这时弹簧秤的示数是10N，则圆盘对铁块的摩擦力大小是 N。

2(2). 如图6-7-4所示，轻杆的一端有一小球，另一端有光滑固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F( )

A．一定是拉力

B．一定是推力

C．一定等于零

D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

2(3) 长为 L 的轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，先令小球以O为圆心、L为半径的竖直平面内做匀速圆周运动，小球能通过最高点．如图所示，g为重力加速度，则（　　）

A.小球通过最高点时的速度可能为0

B.小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为0

C.小球通过最低点时速度大小可能等于2gL

　　D.小球通过最低点时受轻绳的拉力可能等于5mg

3(1). 如图所示，一轻质弹簧原长为L_0，劲度系数为k，两端各系一个质量为m的小球，在光滑水平面上把弹簧中点固定在一个竖直转轴上，使两球绕轴转动，其共同的角速度为ω，则这时弹簧的总长度为L= 。

3(2). 如图6-7-8所示，一半径足够大的圆台可绕其竖直轴在水平面内转动，质量相同的两木块A和B与台间的动摩擦因数都是μ，用一根长为 l 的细线将它们联接．若将A放在轴心处，B在距轴 l，使它们与圆台不发生相对滑动，则角速度ω最大为 ，此时处在平衡状态的物体是 ．

4(1). 如图6-7-10所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO'转动，小物体a在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为( )

图6-7-10

A.√(μg/r) B.√μg C. √(g/μr) D. √(g/r)

4(2). 如图6-7-11所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的摩擦不计．当碗绕竖直轴OO'，匀速转动时，物体A在离碗底高为h处紧贴着碗随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．

4(3). 如图6-7-12所示，在光滑的水平桌面上有光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝1 kg的小球A，另一端连接质量为M＝4kg的重物B。求：

(1)当A球沿半径为R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10 rad /s时，B对地面的压力是多少? 图6-7-12

(2)要使B物体对地面恰好无压力， A球的角速度应为多大?

(g取10 m /s2)