1.3.1 利用导数判断函数的单调性

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

　　教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.

三、教学过程

（一）复习引入

1．增函数、减函数的定义

一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．

　　当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．

2．函数的单调性

如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．

　　在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．

解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值

f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差

　　　　　　＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形

当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号

　　∴y＝f(x)在(－, 2)单调递减． 判断

当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，

∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。

能否利用导数的符号来判断函数单调性？