圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题

　　考试大纲：

1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。

2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；

3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。

　　【热点透析】

与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：

　　（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

　　（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；

　　（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。

　　（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

　　（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

　　　　① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

　　　　② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；

　　（6）构造一个二次方程，利用判别式0。

2.解题时所使用的数学思想方法。

　　（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。

　　（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。

　　（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。

　　（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。

　　【题型分析】

1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

解：由已知可得抛物线的准线为直线，∴ 方程为；