1柯西不等式

　　1．1　简单形式的柯西不等式

　　[对应学生用书P32]

　　1．简单形式的柯西不等式

　　定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

　　当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．

　　2．柯西不等式的向量形式

　　设α，β是任意两个向量，则|α||β|≥|α·β|，

　　当向量α，β共线时，等号成立．

　　1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件时取等号？

　　提示：当向量(a，b)与向量(c，d)共线，即ad－bc＝0也就是ad＝bc时取等号．

　　2．若柯西不等式左边为(a2＋b2)(d2＋c2)，则右边应为什么？

　　提示：(ad＋bc)2.

　　3．根据柯西不等式，下列结论成立吗？

　　(1)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；

　　(2) ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

　　(3) ·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

　　提示：成立．

　　[对应学生用书P32]

利用柯西不等式证明不等式 　　[例1]　(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，

　　求证：|ax＋by|≤1；

　　(2)设a，b，c为正数，求证＋＋≥ (a＋b＋c)．

[思路点拨]　本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力．解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将，，增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用．