§3.3　导数在研究函数中的应用

3.3.1　函数的单调性与导数

学习目标　1.了解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系

思考1　f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？

答案　当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

思考2　y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？

答案　在区间(a，b)上，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；

在区间(a，b)上，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．

梳理　(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数

(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0

特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区