1.4.2　微积分基本定理(一)

明目标、知重点　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．

1．微积分基本定理

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则

(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃf(x)dx＝S上．

(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃf(x)dx＝－S下．

(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃf(x)dx＝0.

[情境导学]

从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃx3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念--导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？

探究点一　微积分基本定理

思考1　如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数