三 排序不等式

知识梳理

1.基本概念

设a1

2.排序原理

设a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn为两组实数，c1,c2, ...,cn是b1,b2, ...,bn的任一排列，那么,

_______≤_______≤_______.

当且仅当_______或_______时，反序和等于顺序和.

知识导学

排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种"搭配"的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的"次序"，两种较为简单是"顺与反"，而乱序和也就不按"常理"的顺序了，对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子.

对于排序不等式取等号的条件不难理解a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记.

疑难突破

1.对排序不等式的证明的理解

对排序不等式的证明中，用到了"探究--猜想--检验--证明"的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及到的"排序"及"乘积"的问题，又使用了"一一搭配"这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.

对于出现的"逐步调整比较法"，则要引起注意，研究数组这种带"顺序"的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.

2.排序原理的思想

在解答数学问题时，常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.

典题精讲

【例1】 设a,b,c都是正数，求证：≥a+b+c.

思路分析：不等式的左侧，可以分为两种数组ab,ac,bc;,,，排出顺序后，可利用排序原理证之.

证明：由题意不妨设a≥b≥c>0,

由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc,≥≥.

由排序原理，知

ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×，

即所证不等式成立.