1.3.2　函数的极值与导数

学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

知识点一　函数的极值点和极值

思考1　观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．

答　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)，极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．

思考2　导数为0的点一定是极值点吗？

答　不一定，如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0，不是f(x)＝x3的极值点．

(1)极小值点与极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

知识点二　函数的极值的求法

思考1　极大值一定比极小值大吗？

答　极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如图所示．