1.3 三角函数的图象和性质

一览众山小

诱学导入

如图1-3-1,对于这一装置,大家一定熟悉，它就是"简谐运动"的简易实验装置.将一个漏斗挂在架子上，做成一个简易单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可以在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把它叫做"正弦曲线"或"余弦曲线"，它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)的变化情况.

图1-3-1

实际上，三角函数是对单位圆圆周上一点运动的"动态描述".它们的各种性质和公式都是和单位圆的几何性质密切相关的，这是研究三角函数的重要思想和方法.在解决三角函数的有关问题中，应自觉地运用三角函数线和三角函数的图象，对形助数，数形结合.

问题:通过上面的实验，你能否说出一些"正弦曲线"或"余弦曲线"的简单性质？

导入点拨：可从图象的形状，各段图象间的关系，图象的最高点、最低点的纵坐标间的关系入手.

温故知新

1.三角函数的诱导公式有哪几组？

答:公式一：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z),cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z),tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z);

公式二：sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα；

公式三：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα；

公式四：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα；

公式五：sin(-α)=cosα，cos(-α)=sinα；

公式六：sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα.

2.怎样由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象？

答:只要将函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位即可得函数y=f(x+a)的图象.

3.奇函数和偶函数的图象有何特征？

答:奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

4.如何判断一个函数在某一区间上的单调性？

答:判断函数在所给某个区间上的单调性的方法有以下几种：

(1)函数图象判断：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

(2)定义推断：即"取值--作差--变形--定号--判断".

(3)用已知函数的单调性判断：将函数的单调性转化为已知函数的单调性来判断.